波动方程及其物理意义¶

一、波粒二象性——现代量子力学的出发点¶

爱因斯坦 ：提出波动性和粒子性需要结合起来。
德布罗意 ：提出物质波假说。
汤姆逊 ：通过晶体衍射验证了物质波的存在。
海森堡 ：从物质波假说出发，得出对易关系。海森堡、玻恩、约当发展了矩阵力学。
薛定谔 ：从物质波假说出发，得出量子力学的波动方程，波动力学诞生。玻恩提出了几率波概念。
泡利和薛定谔 ：证明了矩阵力学和波动力学的等价性。
爱因斯坦和波尔 ：展开大辩论。衍生出薛定谔的猫和 EPR 佯谬等重要思想实验，以及量子态叠加原理和量子纠缠等重要概念，深刻影响了第二次量子革命。

二、量子力学的核心问题¶

微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。
量子力学最核心的问题：
- 在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数。
- 波函数如何随时间演化。

三、薛定谔方程的引入¶

牛顿第二定律 ：描述粒子运动的方程为 \(F = ma\)，其中 \(F\) 表示力，\(m\) 表示质量，\(a\) 表示加速度。可表示为 \(m\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{\partial V}{\partial x}\)，其中 \(V\) 表示势能。
波动方程 ：波的运动方程为 \(\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2} = c^2(\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial z^2})\)，其中 \(c\) 表示波速，\(\psi\) 表示波函数。无源情况下可表示为 \(\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2} = c^2\nabla^2\psi\)。平面波解为 \(\psi(\vec{r}, t) = A e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r} - \omega t)}\)，其中 \(\vec{k}\) 表示波矢，\(\omega\) 表示角频率。
物质波的波动描述 ：根据德布罗意假设，动量为 \(p\)、能量为 \(E\) 的自由粒子，可用频率为 \(\nu\)、波长为 \(\lambda\) 的平面波来描述其波动性和粒子性，即 \(\lambda = \frac{h}{p}\)，\(\nu = \frac{E}{h}\)，其中 \(h\) 表示普朗克常数。自由粒子的波函数可表示为 \(\psi(\vec{r}, t) = A e^{i(\vec{p}\cdot\vec{r} - Et)/\hbar}\)，其中 \(\hbar = \frac{h}{2\pi}\) 表示约化普朗克常数。

四、薛定谔方程的建立¶

从自由粒子波函数的形式出发，得到：
- \(i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} = E\psi\)
- \(\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} = -\frac{p_x^2}{\hbar^2}\psi\)
- 同理可得 \(\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} = -\frac{p_y^2}{\hbar^2}\psi\)，\(\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2} = -\frac{p_z^2}{\hbar^2}\psi\)
- 将三式相加得 \(\nabla^2\psi = -\frac{p^2}{\hbar^2}\psi\)
远小于光速时，粒子的动能和动量的关系为 \(E = \frac{p^2}{2m}\)，其中 \(m\) 表示粒子质量。代入上式得到：
- \(i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi\)
在外力场中，粒子的总能量为动能和势能的和，即 \(E = \frac{p^2}{2m} + V\)，其中 \(V\) 表示势能。将势能项加入得到：
- \(i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V\psi\)
此即薛定谔方程，是量子力学的基本方程，方程的解与势函数的具体形式有关。

五、薛定谔方程的特点¶

方程中有虚数 \(i\)，方程的解总是复函数。
方程中对时间只有一阶偏微分，和波动方程不同。因此只要知道初始时刻的值，就可以得到积分常数。
方程中出现对坐标的二阶偏微分，要求波函数及其一阶导数连续。
薛定谔方程是线性方程，和粒子的运动方程（牛顿第二定律）不同。

六、波函数的物理意义¶

经典平面波的波动表达式中，\(\vec{r}\)、\(\vec{k}\)、\(E\) 都是有明确物理意义的物理量，所谓的波动即这些物理量随时间和空间的波动。而波函数 \(\psi(\vec{r}, t)\) 的物理意义需要进一步探讨。
电子束衍射实验表明：
- 波动性：电子波的强度正比于波函数的模平方，通过测量衍射条纹计算出的波长，与德布罗意波长一致。
- 粒子性：一个电子只能形成一个感光点，一个电子绝不会形成衍射条纹。当电子束流量大时，短时间内显示清晰的衍射条纹；当电子一个一个通过时，若时间足够长，也能显示衍射条纹。这表明，单个电子的行为是随机的，无法精确预测，但服从一定的几率统计。
- 综上，微观粒子出现在空间某处的几率与该微观粒子的波函数在该处的取值成正比。

七、几率密度和归一化条件¶

微观粒子在某时刻，某处体积元内出现的几率由密度 \(P(\vec{r}, t)\) 表示，其中 \(P(\vec{r}, t) = |\psi(\vec{r}, t)|^2 = \psi^*(\vec{r}, t)\psi(\vec{r}, t)\)。
归一化条件：\(\int |\psi(\vec{r}, t)|^2 d^3r = 1\)，表示在所有空间中找到粒子的几率为 1。

八、波函数的标准条件¶

在 \(\vec{r}\) 的变化范围内，波函数需要有限、单值、连续（含一阶导数连续）。
归一化条件：\(\int |\psi(\vec{r}, t)|^2 d^3r = 1\)。

九、波函数的诠释¶

薛定谔方程能够正确地描述波函数的量子行为，但波函数的物理意义在当时尚未明确。薛定谔曾尝试用波函数来代表电荷的密度，但遭到失败。
1926 年，玻恩提出几率幅的概念，成功地解释了波函数的物理意义。波函数本身没有什么物理含义，并不代表某一物理量，但波函数的模平方有实质的物理含义，即几率密度。微观粒子的波动性体现在几率密度的波动，因此由波函数描述的波又称为几率波。
经典的波动不具有几率性质。
波函数的统计诠释得到了绝大多数物理学家的支持，玻恩因此获得 1954 年诺贝尔物理学奖。而爱因斯坦、德布罗意、薛定谔等少数物理学家对波函数的统计诠释持不同观点，长期争论限于纯理论领域，无实验上的判据。直到 1960 年代 Bell 等人的理论分析和以后的很多实验工作，都证实正统的量子力学预期与实验一致。

十、物理量的平均值¶

已知波函数 \(\psi(\vec{r}, t)\) 可以求出 \(t\) 时刻粒子 \(x\) 坐标的平均值：
- \(\langle x \rangle = \int x |\psi(x, t)|^2 dx\)
在狄拉克符号体系下：
- \(\langle x \rangle = \langle \psi|x|\psi \rangle\)
速度的平均值：
- \(\frac{d\langle x \rangle}{dt} = \frac{i\hbar}{2m} \int (\psi^* \frac{\partial\psi}{\partial x} - \frac{\partial\psi^*}{\partial x}\psi) dx\)
- 进而可得动量的平均值：\(\langle p \rangle = m\frac{d\langle x \rangle}{dt} = -i\hbar \int \psi^* \frac{\partial\psi}{\partial x} dx\)

十一、态叠加原理¶

微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。干涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性。量子力学中也存在波叠加原理，称为态叠加原理。
在数学上，薛定谔方程是线性偏微分方程。在一定势场下方程往往有多个解 \(\psi_1, \psi_2, ..., \psi_n\)，这些解的线性叠加也必然是方程的解：
- \(\psi = c_1\psi_1 + c_2\psi_2 + ... + c_n\psi_n\)
在物理意义上，\(\psi_1, \psi_2, ..., \psi_n\) 是微观粒子可能具有的一系列状态，这些状态的线性叠加所得到的态 \(\psi\) 也是微观粒子的一个可能态。此即态叠加原理。
量子力学中态的叠加与经典波动的叠加有本质的不同。对叠加态物理量的测量不确定，各自出现的几率为恒定。

十二、不确定性原理¶

同时测量动量和位置的不精确程度永大于某个固定值，该值可由普朗克常数估计：
- \(\sigma_x \sigma_p \geq \frac{\hbar}{2}\)
波长可以精确定义但位置无法精确定义的波，以及位置可以精确定义但波长无法精确定义的波，体现了不确定性原理。