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第一章 度量空间

1.1 度量空间

1.1.1 定义

度量空间是一个非空集合 \(X\)，其上定义了一个度量 \(p(x, y)\)，满足以下条件：

  1. 非负性与确定性： - \(p(x, y) \geq 0\) - \(p(x, y) = 0\) 当且仅当 \(x = y\)

  2. 对称性： - \(p(x, y) = p(y, x)\)

  3. 三角不等式： - \(p(x, y) \leq p(x, z) + p(z, y)\)

例子： - 实数直线：在实数集 \(\mathbb{R}\) 上，定义距离 \(p(x, y) = |x - y|\)，这是一个度量空间。 - n维欧几里得空间：在 \(\mathbb{R}^n\) 中，定义距离 \(p(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2}\)，这也是一个度量空间。

1.1.2 子空间

设 \((X, p)\) 是度量空间，\(A\) 是 \(X\) 的非空子集。若对于 \(a, b \in A\)，规定 \(p_A(a, b) = p(a, b)\)，则 \((A, p_A)\) 是度量空间，称为 \(X\) 的子空间。

例子： - 区间子空间：在实数直线 \(\mathbb{R}\) 上，区间 \([a, b]\) 是 \(\mathbb{R}\) 的一个子空间。

1.1.3 积空间

设 \((X_1, p_1)\) 和 \((X_2, p_2)\) 是两个度量空间，积空间 \(X = X_1 \times X_2\) 是所有有序对 \((x_1, x_2)\) 的集合。积空间上可定义以下度量：

  • \(p((x_1, x_2), (y_1, y_2)) = \sqrt{p_1(x_1, y_1)^2 + p_2(x_2, y_2)^2}\)
  • \(p((x_1, x_2), (y_1, y_2)) = p_1(x_1, y_1) + p_2(x_2, y_2)\)
  • \(p((x_1, x_2), (y_1, y_2)) = \max(p_1(x_1, y_1), p_2(x_2, y_2))\)

例子： - 平面空间：在 \(\mathbb{R}^2\) 中，定义不同的度量可以得到不同的积空间。

1.1.4 极限

设 \((X, p)\) 是度量空间，点列 \(\{ x_n \}\) 收敛于 \(x_0 \in X\)，当且仅当 \(\lim_{n \to \infty} p(x_n, x_0) = 0\)。

例子： - 数列收敛：在实数直线 \(\mathbb{R}\) 上，数列 \(\{ 1/n \}\) 收敛于 \(0\)。

1.2 赋范线性空间、内积空间

1.2.1 线性空间

线性空间是定义域为实数或复数域 \(K\) 的集合，满足加法和数乘运算的封闭性。

例子： - 多项式空间：所有次数不超过 \(n\) 的多项式构成的集合是一个线性空间。

1.2.2 赋范线性空间

设 \(X\) 是线性空间，范数 \(\| \cdot \|\) 是定义在 \(X\) 上的实值函数，满足：

  1. \(\| x \| \geq 0\)
  2. \(\| x + y \| \leq \| x \| + \| y \|\)
  3. \(\| \alpha x \| = |\alpha| \| x \|\)

若 \(\| \cdot \|\) 还满足 \(\| x \| = 0\) 当且仅当 \(x = 0\)，则称 \(X\) 为赋范线性空间。

例子： - 欧几里得空间：在 \(\mathbb{R}^n\) 中，定义范数 \(\| x \| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}\)，这是一个赋范线性空间。

1.2.3 内积空间

设 \(H\) 是实数域或复数域 \(K\) 上的线性空间，内积 \((x, y)\) 满足：

  1. 共轭对称性：\((x, y) = \overline{(y, x)}\)
  2. 对第一变元的线性性： - \((x + y, z) = (x, z) + (y, z)\) - \((\alpha x, y) = \alpha (x, y)\)
  3. 正定性：\((x, x) \geq 0\)，且 \((x, x) = 0\) 当且仅当 \(x = 0\)

例子： - 希尔伯特空间：在 \(\mathbb{R}^n\) 中，定义内积 \((x, y) = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i\)，这是一个内积空间。

1.3 度量空间中的点集

1.3.1 内点、开集

  • 内点：设 \(A\) 是度量空间 \(X\) 的子集，若存在 \(r > 0\) 使得开球 \(O(x_0, r) \subseteq A\)，则称 \(x_0\) 是 \(A\) 的内点。
  • 开集：若 \(A\) 的每个点都是内点，则称 \(A\) 为开集。

例子： - 开区间：在实数直线 \(\mathbb{R}\) 上，开区间 \((a, b)\) 是一个开集。

1.3.2 极限点、闭集

  • 极限点：若 \(x_0\) 的每个邻域都包含 \(A\) 中的无限多个点，则称 \(x_0\) 是 \(A\) 的极限点。
  • 闭集：若 \(A\) 包含其所有极限点，则称 \(A\) 为闭集。

例子： - 闭区间：在实数直线 \(\mathbb{R}\) 上，闭区间 \([a, b]\) 是一个闭集。

1.3.3 点集间的距离

设 \(E\) 和 \(F\) 是度量空间 \(X\) 中的两个点集，定义 \(E\) 与 \(F\) 间的距离为 \(\inf_{x \in E, y \in F} p(x, y)\)。

例子： - 点到集合的距离：在实数直线 \(\mathbb{R}\) 上，点 \(0\) 到集合 \([1, 2]\) 的距离为 \(1\)。

1.3.4 连续映照

设 \(X\) 和 \(Y\) 是度量空间，映射 \(f: X \to Y\) 在 \(x_0\) 处连续，当且仅当对于任意的 \(\epsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得当 \(p(x, x_0) < \delta\) 时，\(p(f(x), f(x_0)) < \epsilon\)。

例子： - 连续函数：在实数直线 \(\mathbb{R}\) 上，函数 \(f(x) = x^2\) 是连续的。

1.4 完备性

1.4.1 完备性的概念

  • Cauchy 点列：若对于任意的 \(\epsilon > 0\)，存在 \(N\)，使得当 \(n, m \geq N\) 时，\(p(x_n, x_m) < \epsilon\)，则称点列 \(\{ x_n \}\) 为基本点列或 Cauchy 点列。
  • 完备空间：若度量空间 \(X\) 中每个基本点列都收敛，则称 \(X\) 为完备度量空间。

例子： - 实数直线：实数直线 \(\mathbb{R}\) 是一个完备度量空间。

1.4.2 闭球套定理

在完备度量空间中，若存在一系列闭球 \(B_n\) 满足 \(B_1 \supseteq B_2 \supseteq \cdots\)，且 \(\lim_{n \to \infty} \text{直径}(B_n) = 0\)，则存在唯一的点 \(x \in \bigcap_{n=1}^{\infty} B_n\)。

例子： - 闭区间套：在实数直线 \(\mathbb{R}\) 上，闭区间套定理说明存在唯一公共点。

1.4.3 Baire 定理

完备度量空间是第二纲的，即不能表示为可数个疏朗集的并。

例子： - 实数直线：实数直线 \(\mathbb{R}\) 是一个第二纲空间。

1.5 不动点定理

1.5.1 压缩映照原理

  • 压缩映照：若存在 \(0 \leq \alpha < 1\)，使得对于任意的 \(x, y \in X\)，有 \(p(\phi(x), \phi(y)) \leq \alpha p(x, y)\)，则称 \(\phi\) 是压缩映照。
  • 不动点存在性：在完备度量空间中，压缩映照有唯一不动点。

例子： - 压缩映照：在实数直线 \(\mathbb{R}\) 上，映照 \(\phi(x) = x/2\) 是压缩映照，其不动点为 \(0\)。

1.6 稠密性

1.6.1 稠密性

若 \(A\) 的闭包 \(\overline{A} = X\)，则称 \(A\) 在 \(X\) 中稠密。

例子： - 有理数集：在实数直线 \(\mathbb{R}\) 上，有理数集 \(\mathbb{Q}\) 是稠密的。

1.6.2 可分空间

若存在可列的稠密子集，则称 \(X\) 为可分空间。

例子： - 欧几里得空间：在 \(\mathbb{R}^n\) 中，有理数点构成的集合是可分的。

1.7 紧性

1.7.1 相对列紧集

若 \(A\) 中的任何点列都有收敛的子列，则称 \(A\) 为相对列紧集。

例子： - 闭区间：在实数直线 \(\mathbb{R}\) 上，闭区间 \([a, b]\) 是相对列紧的。

1.7.2 完全有界集

若对于任意的 \(\epsilon > 0\)，存在有限个开球覆盖 \(A\)，则称 \(A\) 为完全有界集。

例子： - 有限集：在任何度量空间中，有限集是完全有界的。

1.7.3 Arzela-Ascoli 定理

在 \(C[a, b]\) 中，点集 \(A\) 是相对列紧的充要条件是 \(A\) 为有界且等度连续的函数族。

例子： - 等度连续函数族：在 \(C[0, 1]\) 中，由多项式函数构成的有界集是等度连续的。

1.7.4 列紧集

若 \(A\) 是闭的相对列紧集，则称 \(A\) 为列紧集。

例子： - 紧区间：在实数直线 \(\mathbb{R}\) 上，闭区间 \([a, b]\) 是列紧集。

1.7.5 紧集上的连续映照

紧集上的连续映照保持紧性，且在紧集上连续函数有界并可达极值。

例子： - 连续函数：在闭区间 \([a, b]\) 上，连续函数 \(f(x) = x^2\) 是有界的，并在端点处达到极值。