物理知识

拉格朗日方程是分析物理系统运动的重要工具，它基于最小作用量原理，通过构造拉格朗日函数来推导系统的运动方程。

拉格朗日函数¶

拉格朗日函数 \(L\) 定义为系统的总动能 \(T\) 与总势能 \(V\) 之差：

\[ L = T - V \]

作用量 \(S\) 定义为拉格朗日函数在时间区间 \([t_1, t_2]\) 内的积分：

\[ S = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) \, dt \]

其中，\(q\) 表示广义坐标，\(\dot{q}\) 表示广义速度。

最小作用量原理表明：实际运动路径使作用量 \(S\) 取极值（通常为极小值）。

利用变分法，将相邻路径做微小变化并令作用量一阶变化为零，可以得到欧拉-拉格朗日方程：

\[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \]

对于每个广义坐标 \(q_i\) 均成立。

通过拉格朗日函数的 Legendre 变换，可以将动力学问题从速度 \(\dot{q}\) 的描述转换为动量 \(p\) 的描述，从而得到哈密顿函数。

哈密顿函数 \(H\) 定义为：

\[ H(q, p, t) = \sum_{i} p_i\,\dot{q}_i - L(q, \dot{q}, t) \]

其中广义动量 \(p_i\) 为：

\[ p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \]

在相空间 \((q_i, p_i)\) 中，系统的运动满足哈密顿正则方程：

\[ \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} \]

这组方程提供了一种与欧拉-拉格朗日方程等价的描述方法，在研究守恒定律和相空间结构时更为方便。