偏微分方程的建立¶
弦振动问题的引入¶
- 考虑弦上一点的位移 \(u(x, t)\) 随时间的变化。
- 弦的两端固定在 \(x = 0\) 和 \(x = l\) 处。
- 弦的线密度为 \(\rho\)，张力为 \(T\)。
弦振动方程的推导¶
基本假设¶
- 弦的形变很小，即 \(\left| \frac{\partial u}{\partial x} \right| \ll 1\)。
- 弦的张力 \(T\) 沿弦的切线方向作用。
动力学分析¶
- 对于弦上的微元 \(\Delta x\)，其质量为 \(\Delta m = \rho \Delta x\)。
- 在横向振动时，微元的加速度由张力的横向分量提供。
方程推导¶
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张力的横向分量差提供加速度： $$ T \sin \theta(x + \Delta x) - T \sin \theta(x) = \Delta m \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} $$
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形变很小的近似： $$ \sin \theta \approx \tan \theta = \frac{\partial u}{\partial x} $$ $$ \cos \theta \approx 1 $$
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代入并整理： $$ T \left( \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|{x + \Delta x} - \frac{\partial u}{\partial x} \bigg| $$ 对 } \right) = \rho \Delta x \frac{\partial^2 u}{\partial t^2\(\Delta x\) 求极限，得到： $$ T \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} $$ 整理得到波动方程： $$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \frac{T}{\rho} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0 $$
波动方程的标准形式¶
- 令 \(a = \sqrt{\frac{T}{\rho}}\)，得到标准波动方程： $$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0 $$
- 其中 \(a\) 是波速，由介质的性质决定。
波动方程的物理意义¶
- 描述了波形在弦上的传播过程。
- 波动方程的解是波函数，表示波的形状随时间的演变。
一维波动方程的进一步分析¶
- 弦振动方程： $$ \rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = T \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$
- 可以写成标准形式： $$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0 $$
三维波动方程¶
- 考虑三维空间中的波动现象。
- 引入拉普拉斯算子： $$ \nabla^2 \equiv \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} $$
- 三维波动方程： $$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - a^2 \nabla^2 u = 0 $$
波动方程的应用¶
- 描述各种波动现象，如声波、电磁波等。
- 在工程、物理等领域有广泛应用。
波动方程的求解方法¶
- 分离变量法：适用于有界区域，通过变量分离将方程分解为多个常微分方程。
- 行波法：适用于无界区域，解表示为行波形式。
- 拉普拉斯变换法：通过变换将偏微分方程转化为常微分方程。
波动方程的边界条件¶
- 固定端：\(u = 0\)
- 自由端：\(\frac{\partial u}{\partial x} = 0\)
- 张力变化：\(T \frac{\partial u}{\partial x} = f\)（\(f\) 为外力）
何谓“定解问题”? (What is a "Definite Problem"?)¶
偏微分方程 (Partial Differential Equation) + 定解条件 (Definite Conditions) = 定解问题 (Definite Problem)
定解问题的适定性 (Well-posedness of Definite Problems)¶
在什么条件下,定解问题的解是存在的,唯一的,并且是稳定的? (Under what conditions does the solution to a definite problem exist, is unique, and is stable?)
- 解的存在性 (Existence of Solution): 定解问题有解 (The definite problem has a solution).
- 解的唯一性 (Uniqueness of Solution): 定解问题只有唯一解 (The definite problem has only one solution).
- 解的稳定性 (Stability of Solution): 解连续依赖于定解条件 (The solution depends continuously on the definite conditions).
- 当定解条件 (初始条件或边界条件) 有微小变动时, 解的变动也应是微小的. (When the definite conditions (initial or boundary conditions) have small perturbations, the change in the solution should also be small).
定解条件的类型 (Types of Definite Conditions)¶
定解问题通常包含初始条件和边界条件。
- 初始条件 (Initial Conditions): 描述物理量在起始时刻 (例如 \(t=0\)) 的状态。
- 例如: \(u(x, y, z, t)|_{t=0} = \phi(x, y, z)\) [cite: 23, 24, 25]
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边界条件 (Boundary Conditions): 描述物理量在问题所研究区域边界 \(\Sigma\) 上的行为。
- 例如 (狄利克雷边界条件 - Dirichlet boundary condition): \(u(x, y, z, t)|_{\Sigma} = f(\Sigma, t)\) [cite: 23, 24, 25]
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相容性条件 (Compatibility Condition): 初始条件和边界条件在边界与初始时刻的交界处应满足一定的协调关系。 [cite: 23, 24, 25]
- 例如: \(f(\Sigma, t)|_{t=0} = \phi(x, y, z)|_{\Sigma}\) [cite: 23, 24, 25]
稳定性说明 (Explanation of Stability)¶
- 如果初始条件 \(\phi(x, y, z)\) 发生微小改变, 那么解 \(u(x,y,z,t)\) 也应该只发生微小改变。
- 如果边界条件 (例如 \(u|_{\Sigma} = u_0\)) 发生微小改变 (即 \(u_0\) 有小扰动), 那么解也应该只发生微小改变。
- 这种解对初始条件和边界条件的连续依赖性是物理问题适定性的重要体现。