复变函数的微积分¶

微积分¶

Green:

\[ \int\limits_{\partial D}Pdx+Qdy = \iint\limits_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy \]

Gauss:

\[ \iiint\limits_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right) = \iint\limits_{\partial \Omega}Pdydz + Qdzdx + Rdxdy \]

Stokes公式

设 $\sum$ 为光滑曲面，其边界 $\partial \sum$ 为分段光滑闭曲线。若函数 $P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)$ 在 $\sum$ 及其边界 $\partial \sum$ 上具有连续偏导数，则成立：

\[ \int_{\sum} Pdx + Qdy + Rdz = \iint_{\sum} \begin{vmatrix} dydz & dzdx & dxdy \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} dS \]

所谓区域的边界点，并不属于任何区域，但是以它为圆心做圆，无论半径如何小，圆内总含有区域的点。
区域边界点方向：如果沿着边界走，区域保持在左方，则走向称为边界点正向。 --诱导定向

解析函数¶

在区域 $G$ 内每一点都可导的函数，称为 $G$ 内的解析函数。

函数 $\omega = f(z)$ 在 $G$ 内解析的必要条件：

在 $G$ 内处处满足 Cauchy-Riemann 方程

Cauchy-Riemann 方程¶

\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \]

\[ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \]

在平面上作一簇曲线，曲线 $u(x,y) = $ 常数，则这一族曲线的切线的方向矢量便是 $\left(\frac{\partial u}{\partial y}, -\frac{\partial u}{\partial x}\right)$

证：对于平面上的曲线族 $u(x,y) = \text{常数}$，我们可以通过以下步骤推导出该曲线族的切线方向矢量。

函数定义及隐函数求导：

设曲线 $u(x,y) = C$ 为常数 $C$ 所表示的一簇曲线。根据隐函数求导法，我们有：

\[ \frac{d}{dx} u(x,y) = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{dx}{dx} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{dy}{dx} = 0 \]

即

\[ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{dy}{dx} = 0 \]

解得

\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial u}{\partial x}}{\frac{\partial u}{\partial y}} \]
切线方向矢量：

曲线 $u(x,y) = C$ 在点 $(x, y)$ 处的切线方向矢量可以写作 $(dx, dy)$。根据导数关系，切线方向满足：

\[ dy = -\frac{\frac{\partial u}{\partial x}}{\frac{\partial u}{\partial y}} dx \]

即

\[ \left(dx, dy\right) = \left(dx, -\frac{\partial u}{\partial x} dx\right) \]

令 $dx = \frac{\partial u}{\partial y}$，则有

\[ dy = -\frac{\partial u}{\partial x} \]

由此我们得出，切线的方向矢量为

\[ \left(\frac{\partial u}{\partial y}, -\frac{\partial u}{\partial x}\right) \]

综上所述，对于平面上曲线族 $u(x,y) = \text{常数}$，其切线方向矢量为

\[ \left(\frac{\partial u}{\partial y}, -\frac{\partial u}{\partial x}\right) \]

复变积分¶

复变积分是在复数平面上的线积分。

\[ \int_{c} fdz = \int_{c} (u+iv)(dx+idy) \]

\[ =\int_{c} (udx - vdy) + i \int_{c} (vdx + udy) \]

复变积分的数值依赖于： - 被积函数 - 端点位置，即积分的“上下限” - 积分路径

Cauchy 定理¶

有界单连通区域的 Cauchy 定理

如果函数 $f(z)$ 在有界单连通区域 $G$ 内解析，在 $G$ 的边界上连续，则沿 $\overline{G}$ 中的任何一个分段光滑的闭合围道 $C$ 有：

\[ \oint_{c} f(z) dz = 0 \]

$C$ 也可以是 $\overline{G}$ 的边界

有界区域的Cauchy积分公式

设f(z)是有界闭区域 $\overline{G}$ 中的单值解析函数，$\overline{G} $ 的边界C是分段光滑曲线，a为G中一点，则： $$ f(a) = \frac{1}{2 \pi i}\oint_{C}\frac{f(z)}{z-a}dz $$ 有界多连通区域的 Cauchy 定理

如果 $f(z)$ 是有界多连通区域 $\overline{G}$ 中的单值解析函数，则

\[ \oint_{c} f(z) dz = \sum_{i=1}^{n} \oint_{c_{i}} f(z_i) dz_i \]

证明思路：取 $C_{0}, C_{1}, \ldots, C_{n}$ 均为逆时针方向，做适当的割线将其连接，从而得到单连通区域。

可得：

\[ \oint_{c} (z-a)^{n} dz = \left\{ \begin{matrix} 2\pi i , n = -1 , 且 C 绕 z=a 转逆时针一圈\\ 0 ，其他情形 \end{matrix} \right. \]

小圆弧引理¶

若函数 $f(z)$ 在 $z = a$ 点的领域内连续，且当 $\theta_{1} \leqslant \arg(z-a) \leqslant \theta_{2}$,

$|z-a| \to 0$ 时，$(z-a)f(z) \to k,$则

\[ \lim_{x \to 0} \oint_{C_{\delta}} f(z) dz = i k (\theta_{2} - \theta_{1}) \]

其中 $C_{\delta}$ 是以 $z=a$ 为圆心，$\delta$ 为半径，夹角为 $\theta_{2}-\theta_{1}$ 的圆弧

证明思路：$\int_{C_{\theta}} \frac{dz}{z-a} = i (\theta_{2} - \theta_{1})$

Cauchy 积分公式¶

有界区域的 Cauchy 积分公式

设 $f(z)$ 是有界闭区域 $\overline{G}$ 中的单值解析函数，$\overline{G}$ 的边界 $C$ 是分段光滑曲线，$a$ 为 $G$ 中一点，则：

\[ f(a) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_{C} \frac{f(z)}{z-a} dz \]

其中积分路线沿 $C$ 的正向

有界多连通区域的 Cauchy 定理：

\[ \oint_{C_0} f(z) dz = \sum_{i=1}^{n} \oint_{C_i} f(z) dz \]

解析函数的高阶导数公式：

\[ f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_{C} \frac{f(\zeta)}{(\zeta -z)^{n+1}} d\zeta \]

复变函数中 $f'(z)$ 的存在则包含了在二维平面区域上对 $f(z)$ 的要求。

Cauchy 不等式

\[ |f^{(n)}(z_{0})| \leqslant \frac{n!}{R^{n}} \max_{|z-z_{0}|=R}|f(z)| \]

通过选取适当的曲线对有界解析函数取值 $a$ 取最小上界

Liouville 定理¶

设 $f(z)$ 是整个复平面上有界解析函数，则 $f(z)$ 为常数。

推论：代数方程的根

Morera 定理¶

设 $f(z)$ 是区域 $G$ 上连续函数，如果对 $G$ 内的任意分段光滑闭曲线 $\Gamma$，都有 $\oint_{\Gamma}f(z)dz=0$ ，则 $f(z)$ 在区域 $G$ 上解析。

解析函数零点孤立性¶

设 $f(z)$ 是 $G$ 上非零解析函数，则 $f(z)$ 零点在 $G$ 上孤立。

设 $f(z)$ 在 $z_{0}$ 的某领域 $\overline{U}$ 中解析，且 $f(z_{0}) = 0$，则存在 $\delta > 0$，使得在 $0<|z - z_{0}|<\delta$ 范围内 $f(z) \ne 0$。

幂级数展开及其性质¶

泰勒级数¶

设函数 $f(z)$ 在点 $z = z_{0}$ 的某领域 $\overline{U}$ 内解析，则：

\[ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^{n}, \quad |z-z_{0}|<R \quad (a_{n} = \frac{f^{(n)}(z_{0})}{n!}) \]

其中 $R$ 称为收敛半径。

解析延拓¶

设 $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(z-z_{0})^{n}$, $f_{1}(z) = \sum_{n=0}^{\infty} b_{n}(z-z_{1})^{n}$

在领域 $\overline{U} = |z - z_{0}| < R_{0}$ 内收敛。在复平面上存在 $C$ 路径。使得 $f(z) = f_{1}(z)$, 则 $f(z)$ 在 $|z - z_{1}| < R_{1}$ 内收敛。

收敛域性质：收敛半径是正实数
和函数在收敛区间内一致连续
和函数的任意阶导数级数一致收敛，并且导数公式为

\[ f'(z) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} (z - z_{0})^{n-1} \]

Laurent 级数¶

设 $f(z)$ 在退圈 $r<|z - z_{0}|<R$ 上解析，则

\[ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(z - z_{0})^{n} + \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}(z - z_{0})^{-n} \]

其中系数 $a_{n} = \frac{1}{2 \pi i} \oint_{C} \frac{f(z)}{(z - z_{0})^{n+1}} dz$

系数 $b_{n} = \frac{1}{2 \pi i} \oint_{C} \frac{f(z)}{(z - z_{0})^{n-1}} dz$

证明思路：Cauchy 积分公式加以证明。

设函数 $f(z)$ 在圆环域 $r < |z - z_{0}| < R$ 上解析，则 $f(z)$ 在圆环域 $r < |z - z_{0}| < R$ 上可以展开成 $z - z_{0}$ 的Laurent级数：

\[ f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} (z - z_{0})^{n} \]

其中系数 $c_{n}$ 的表达式为：

\[ c_{n} = \frac{1}{2 \pi i} \oint_{C} \frac{f(z)}{(z - z_{0})^{n+1}} dz \]

根据 $f(z)$ 在圆环域内解析，可以应用 Cauchy 积分公式

将 $f(z)$ 在 $r < |z - z_{0}| < R$ 上的积分路径分成两个部分：

在 $|z - z_{0}| = R$ 的圆周上的积分
在 $|z - z_{0}| = r$ 的圆周上的积分

设圆周上的积分路径分别为 $C_{R}$ 和 $C_{r}$，则有：

\[ c_{n} = \frac{1}{2 \pi i} \oint_{C_{R}} \frac{f(z)}{(z - z_{0})^{n+1}} dz + \frac{1}{2 \pi i} \oint_{C_{r}} \frac{f(z)}{(z - z_{0})^{n+1}} dz \]

根据 Cauchy 积分公式，在 $r < |z - z_{0}| < R$ 上积分结果为：

\[ c_{n} = \frac{1}{2 \pi i} \oint_{C} \frac{f(z)}{(z - z_{0})^{n+1}} dz \]

孤立奇点与留数¶

孤立奇点的类型¶

设 $f(z)$ 在点 $z = z_{0}$ 的某去心领域 $0<|z - z_{0}|<R$ 上解析，则点 $z = z_{0}$ 称为 $f(z)$ 的孤立奇点。

可去奇点

$f(z)$ 在 $z_{0}$ 的领域上解析，并且在 $z_{0}$ 处可以延拓为解析函数。

即，$\lim_{z \to z_{0}} f(z)$ 存在，且是有限值。

极点

$f(z)$ 在 $z_{0}$ 处的领域上解析，且在 $z_{0}$ 处存在 $m$ 阶极限

即，存在正整数 $m$，使得 $(z - z_{0})^{m}f(z)$ 在 $z_{0}$ 处解析且非零

设 $z_{0}$ 是 $f(z)$ 的 $m$ 阶极点，则有：

\[ f(z) = \sum_{n=-m}^{\infty} a_{n}(z - z_{0})^{n} \]

其中 $a_{-m} \neq 0$

本性奇点

$f(z)$ 在 $z_{0}$ 的领域上解析，且 $z_{0}$ 是非可去奇点和非极点

即，$(z - z_{0})^{m} f(z)$ 在 $z_{0}$ 处解析且非零

设 $z_{0}$ 是 $f(z)$ 的本性奇点，则 $f(z)$ 在 $z_{0}$ 的任意领域内取得无数不同值。

留数¶

留数是解析函数在孤立奇点附近的 Laurent 级数展开中，负一次幂项的系数。

设 $f(z)$ 在 $z = z_{0}$ 的某去心领域 $0<|z - z_{0}|<R$ 上解析，则 $f(z)$ 在 $z = z_{0}$ 处的留数定义为 Laurent 级数中负一次幂项的系数，即：

\[ \text{Res}(f, z_{0}) = b_{1} = \frac{1}{2 \pi i} \oint_{C} f(z) dz \]

其中积分路径 $C$ 是围绕 $z_{0}$ 的任意一个小圆。

计算留数的方法¶

设 $f(z)$ 在点 $z = z_{0}$ 处有 $m$ 阶极点，则 $f(z)$ 在 $z = z_{0}$ 处的留数为：

\[ \text{Res}(f, z_{0}) = \lim_{z \to z_{0}} \frac{1}{(m-1)!} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\left((z - z_{0})^{m} f(z)\right) \]

设 $f(z)$ 在 $z = z_{0}$ 的邻域内可以表示为 $f(z) = \frac{g(z)}{h(z)}$，其中 $g(z)$ 和 $h(z)$ 在 $z = z_{0}$ 处解析，且 $h(z)$ 在 $z = z_{0}$ 处有 $m$ 阶零点。

则 $f(z)$ 在 $z = z_{0}$ 处的留数为：

\[ \text{Res}(f, z_{0}) = \frac{g(z_{0})}{h'(z_{0})} \]

留数定理¶

设 $f(z)$ 在 $G$ 上解析，$G$ 内有孤立奇点 $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}$，$C$ 是区域 $G$ 内的一条正方向的分段光滑闭曲线，并且 $C$ 不通过奇点 $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}$。则

留数定理的实质：留数定理 = 孤立奇点概念+ Cauchy定理+Laurent展开系数公式

\[ \oint_{C} f(z) dz = 2 \pi i \sum_{k=1}^{n} \text{Res}(f, z_{k}) \]

留数定理在计算复杂积分时非常有用。

例子1：计算积分

\[ \int_{C} \frac{e^{z}}{z^{2} + 1} dz \]

解：

设 $f(z) = \frac{e^{z}}{z^{2} + 1}$，则 $f(z)$ 在 $z = i$ 和 $z = -i$ 处有孤立奇点。我们可以将积分路径 $C$ 选为围绕 $z = i$ 和 $z = -i$ 的小圆。

利用留数定理，我们有：

\[ \int_{C} \frac{e^{z}}{z^{2} + 1} dz = 2 \pi i \left( \text{Res}(f, i) + \text{Res}(f, -i) \right) \]

计算 $f(z)$ 在 $z = i$ 处的留数：

\[ \text{Res}(f, i) = \lim_{z \to i} (z - i) \frac{e^{z}}{z^{2} + 1} = \lim_{z \to i} \frac{e^{z}}{z + i} = \frac{e^{i}}{2i} \]

计算 $f(z)$ 在 $z = -i$ 处的留数：

\[ \text{Res}(f, -i) = \lim_{z \to -i} (z + i) \frac{e^{z}}{z^{2} + 1} = \lim_{z \to -i} \frac{e^{z}}{z - i} = \frac{e^{-i}}{-2i} \]

因此：

\[ \int_{C} \frac{e^{z}}{z^{2} + 1} dz = 2 \pi i \left( \frac{e^{i}}{2i} - \frac{e^{-i}}{2i} \right) = \pi (e^{i} - e^{-i}) = 2 \pi \sin(1) \]

应用实例：解析延拓和留数定理在物理中的应用¶

解析延拓在物理中的应用： - 在量子力学中，解析延拓用于研究散射振幅的解析性质。 - 在统计力学中，解析延拓用于计算复杂系统的配分函数。 - 在电磁学中，解析延拓用于求解麦克斯韦方程组的边界值问题。
留数定理在物理中的应用： - 在电路理论中，留数定理用于计算复杂电路的响应。 - 在流体力学中，留数定理用于求解复杂流动问题的积分方程。 - 在热力学中，留数定理用于计算热力学系统的配分函数。