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连续时间信号与系统的频域分析

傅立叶变换

傅立叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。它将一个时域信号分解为多个正弦波的叠加，每个正弦波的频率、振幅和相位都可以通过傅立叶变换得到。傅立叶变换的公式为：

\[ X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} dt \]

其中，\(X(f)\) 是频域信号，\(x(t)\) 是时域信号，\(f\) 是频率。

傅立叶变换的逆变换为：

\[ x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j2\pi ft} df \]

傅立叶变换的性质：

  1. 线性：傅立叶变换是线性的，即：
\[ \mathcal{F}[ax(t) + by(t)] = aX(f) + bY(f) \]
  1. 时移：如果\(x(t)\) 延迟\(t_0\)，则其傅立叶变换为：
\[ \mathcal{F}[x(t-t_0)] = X(f)e^{-j2\pi ft_0} \]
  1. 频移：如果\(x(t)\) 的频率为\(f_0\)，则其傅立叶变换为：
\[ \mathcal{F}[x(t)e^{j2\pi f_0t}] = X(f-f_0) \]
  1. 卷积：如果\(x(t)\) 和 \(y(t)\) 的卷积为\(z(t)\)，则其傅立叶变换为：
\[ \mathcal{F}[x(t)*y(t)] = X(f)Y(f) \]
  1. 帕塞瓦尔定理：如果\(x(t)\) 和 \(y(t)\) 的傅立叶变换分别为\(X(f)\) 和 \(Y(f)\)，则有：
\[ \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty} |X(f)|^2 df \]

Z变换

Z变换是一种将离散时间信号转换为频域信号的数学工具。它将一个离散时间信号分解为多个正弦波的叠加，每个正弦波的频率、振幅和相位都可以通过Z变换得到。Z变换的公式为：

\[ X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} \]

Z变换的逆变换为：

\[ x[n] = \frac{1}{2\pi j} \oint_{C} X(z) z^{n-1} dz \]

Z变换的性质：

  1. 线性：Z变换是线性的，即：
\[ \mathcal{Z}[ax[n] + by[n]] = aX(z) + bY(z) \]
  1. 时移：如果\(x[n]\) 延迟\(n_0\)，则其Z变换为：
\[ \mathcal{Z}[x[n-n_0]] = z^{-n_0}X(z) \]
  1. 频移：如果\(x[n]\) 的频率为\(z_0\)，则其Z变换为：
\[ \mathcal{Z}[x[n]z_0^n] = X(z/z_0) \]
  1. 卷积：如果\(x[n]\) 和 \(y[n]\) 的卷积为\(z[n]\)，则其Z变换为：
\[ \mathcal{Z}[x[n]*y[n]] = X(z)Y(z) \]
  1. 帕塞瓦尔定理：如果\(x[n]\) 和 \(y[n]\) 的Z变换分别为\(X(z)\) 和 \(Y(z)\)，则有：
\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2 = \frac{1}{2\pi j} \oint_{C} X(z)X(z^{-1}) dz \]

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是一种将时域信号转换为复平面信号的数学工具。它将一个时域信号分解为多个正弦波的叠加，每个正弦波的频率、振幅和相位都可以通过拉普拉斯变换得到。拉普拉斯变换的公式为：

\[ X(s) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} dt \]

拉普拉斯变换的逆变换为:

\[ x(t) = \frac{1}{2\pi j} \oint_{C} X(s) e^{st} ds \]